Zbiór Bernsteina

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Skocz do: nawigacji , usługi informatyczne szukaj

W topologii i teorii mnogości , oświetlenie dyskotekowe zbiory Bernsteina to bardzo nieregularne podzbiory przestrzeni polskiej . Nazwa została wprowadzona dla uhonorowania niemieckiego matematyka Felixa Bernsteina , szkoły policealne który pierwszy rozważał zbiory tego typu w 1908 ^[1].

[ edytuj ] Definicja

Niech $X$ będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską. Powiemy, meble że podzbiór $Z\subseteq X$ jest zbiorem Bernsteina w $X$ jeśli dla każdego nieprzeliczalnego zbioru borelowskiego $B\subseteq X$ mamy, felgi że

$B\cap Z\neq \emptyset$ oraz $B\setminus Z\neq \emptyset$ .

[ edytuj ] Własności

Niech $(X, szkoły policealne τ)$ będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską .

Przypuśćmy, szczawnica że $Z\subseteq X$ . Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a)

Z

jest zbiorem Bernsteina, szczawnica

(b) ani

Z

ani $X\setminus Z$ nie zawiera nieprzeliczalnego domkniętego podzbioru

X

, działki w szczawnicy

(c) zarówno

Z

jak i $X\setminus Z$ ma niepusty przekrój z każdym nieprzeliczalnym domkniętym podzbiorem

X

.

Jeśli $Z\subseteq X$ jest zbiorem Bernsteina, kosmetyka laserowa to

(i) $X\setminus Z$ jest zbiorem Bernsteina, jaworki

(ii)

Z

nie ma własności Baire'a , studium policealne

(iii)

Z

jest niemierzalny względem dowolnej miary Radona na

X

.

[ edytuj ] Konstrukcja

Dowód istnienia zbiorów Bernsteina wymaga użycia AC . Np przy założeniu aksjomatu determinacji nie istnieją takie zbiory, sypialnie co wynika z wyników polskich matematyków Jana Mycielskiego , aparaty cyfrowe Hugo Steinhuasa i Stanisława Świerczkowskiego.^[2]^[3] Poniżej zakładamy więc aksjomat wyboru, podsłuchy zgodnie z którym na każdym zbiorze można określić dobry porządek .

Niech $X$ będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską. Wówczas $|X|=2^{\aleph_0}$ a także moc rodziny wszystkich borelowskich podzbiorów $X$ jest $2^{\aleph_0}$ . Wobec naszych założeń możemy wybrać listę $\langle B_\alpha:\alpha<2^{\aleph_0}\rangle$ wszystkich nieprzeliczalnych borelowskich podzbiorów $X$ . (Gdzie $2^{\aleph_0}$ jest traktowane jako liczba porządkowa .) Teraz przez indukcję ze względu na $\alpha<2^{\aleph_0}$ wybieramy punkty $x_\alpha, <a href=$ stołyy_\alpha\in X" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/f/a/1fa74d77c309135e0c9094d0045e4629.png" /> tak, opony że

(1)_α $x_\alpha\neq y_\alpha$ , depilacja laserowa

(2)_α $x_\alpha, <a href=$ materacey_\alpha\in B_\alpha \setminus \{x_\beta, szczawnicay_\beta:\beta<\alpha\}" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/9/7/397d5c3a7e118082ecf65c1d492def2f.png" />.

Wybór jest możliwy, fotele z mazażem ponieważ na kroku $\alpha<2^{\aleph_0}$ wiemy, monitoring że zbiór $B α$ jest nieprzeliczalny a więc (jako zbiór borelowski) także mocy continuum , aparaty cyfrowe natomiast zbiór ${x β, suknie ślubne y β :β < α}$ ma moc mniejszą niż continuum.

Po zakończeniu powyższego procesu, szczawnica otrzymujemy rozłączne zbiory $\{x_\alpha:\alpha<2^{\aleph_0}\}$ i $\{y_\alpha:\alpha<2^{\aleph_0}\}$ . Każdy z nich jest zbiorem Bernsteina.

[ edytuj ] Bibliografia

↑ Felix Bernstein, pozycjonowanie Zur Theorie der trigonometrischen Reihen, kamery Sitzungsber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-Natur. Kl. 60 (1908), Szkoły policealne katowice 325-338.
↑ Mycielski, mieszkania w szczawnicy Jan; Steinhaus, faty H. A mathematical axiom contradicting the axiom of choice. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 10 (1962) 1-3
↑ J. Mycielski, szczawnica S. Świerczkowski. On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. Fundamenta Mathematicae . 54 (1964) 67-71.

[ edytuj ] Zobacz też

śmieszne opisy konferencje Kraków Port piratów Zakłady Sportowe nutrition london Serwis informacyjny , meble , f-18 , nieruchomości szczawnica , europa , Szczawnica nieruchomości , Zakopane apartamenty , opony zimowe , w1 , Telefony , reksa , ewery , rabaeberek , aktualności , pufka , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

[0] Felix Bernstein, pozycjonowanie Zur Theorie der trigonometrischen Reihen, kamery Sitzungsber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-Natur. Kl. 60 (1908), Szkoły policealne katowice 325-338.

[1] Mycielski, mieszkania w szczawnicy Jan; Steinhaus, faty H. A mathematical axiom contradicting the axiom of choice. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 10 (1962) 1-3

[2] J. Mycielski, szczawnica S. Świerczkowski. On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. Fundamenta Mathematicae . 54 (1964) 67-71.

[1]

[2]

[3]

Wikipedia - Wolna Encyklopedia